新黎曼理论

新黎曼理论以大、小三和弦之间的直接变换为研究对象，尤其关注共同音保持、简约声部进行及其构成的和声空间。它不预设主、属、下属等调性功能，而把三和弦之间的关系本身当作分析对象。

源流

这一取向的源头可追溯到胡戈·里曼（Hugo Riemann）19 世纪末的二元和声理论，其中大、小三和弦被置于对称的几何对应之中。二十世纪末，大卫·列文以变换语言重述这类关系，理查德·科恩（Richard Cohn）则系统化了 P、L、R 操作，并展示了它在肖邦、瓦格纳及电影音乐中的解释力，故称“新黎曼”理论。123

基本变换

P、L、R 都把大三和弦变为小三和弦或反之，各自保持两个共同音，只移动第三个音。以 C 大三和弦 {0,4,7} 为例：

P（Parallel，平行变换）保持根音和五音，三音移动半音：{0,4,7} → {0,3,7}，即 C 大三和弦到 c 小三和弦。L（Leittonwechsel，导音交换）保持三音和五音，根音移动半音：{0,4,7} → {4,7,11}，即 C 大三和弦到 e 小三和弦。R（Relative，关系变换）保持根音和三音，五音移动全音：{0,4,7} → {9,0,4}，即 C 大三和弦到 a 小三和弦。

三者都是对合，连续施行两次便回到原和弦。这些定义描述的是和弦之间的关系，不预先指定主和弦、属和弦或调性功能，因此特别适合分析功能和声难以简洁说明、但共同音联系与声部进行十分清楚的三和弦接续。

复合变换

交替施行 P 与 L，会在六个大、小三和弦之间形成闭合循环；这六个三和弦的音类总和构成六音集合，其相邻音程交替为小三度与半音。交替施行 P 与 R 则形成包含八个三和弦的循环，音类总和为八音集合。PL 与 LP 沿相反的轨道方向行进，PR 与 RP 同理；符号的施行次序须以分析者采用的记法约定为准。

S、N、H 等名称用于若干常见的高阶复合关系。H 表示六音极变换（hexatonic pole）：同一六音集合内两个没有共同音的三和弦，三个声部各移动半音即可互达，例如 C 大三和弦 {0,4,7} 的六音极为 a♭ 小三和弦 {8,11,3}。复合算子的价值在于概括反复出现的和声路径，它们不能代替对配器、调性语境和音乐表现的判断。

音网

音网把音高或音类关系表示为空间邻接。常见二维模型以纯五度、大三度和小三度为三条方向，大、小三和弦对应相邻的三角形。共享一条边的两个三角形共享两个音类，因此 P、L、R 可以表现为跨越三角形某一边的移动。音网既能显示单次变换，也能显示连续变换形成的轨道。经典大、小三和弦音网对应的有限复形记作 KTI[3,4,5]。

广义三音构型中的 P、L、R

经典新黎曼理论处理的是 3-11 集合类，即大、小三和弦。把网格推广到其他三音集合类时，三种共边依然可以定义保持两个音类、改变第三个音类的操作。此时 P、L、R 应理解为广义边变换的操作标签：它们标记网格上的三个方向，不再自动携带“平行”“导音交换”“关系大小调”的原义，也不应改写作 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 以免与倒影算子 In 混淆。

对任何三音构型都不必停用这些变换，即便对称性很高的构型也存在音网。增三和弦 [4,4,4] 在 T4 下不变，其 T/I 轨道只有四个不同集合，有限复形表现为四个互不相连的三角形；从一个分支跨越到网格另一侧时可能回到同一音类集合，这种情况应标为“恒等（集合不变）”，而不是判定为“没有相邻变换”。若生成音级全为偶数，音网会有多个连通分支：实测 [3,4,5] 为 1 个，[2,4,6] 为 2 个，[3,3,6] 为 3 个，[4,4,4] 为 4 个，[1,1,10] 为 1 个。46

代数表述：语境群与 Jq,r

语境倒影提供了另一种代数描述。对有序三音段 Y=(y1,y2,y3)，Jq,r 以第 q、r 个音之和为倒影轴：

$$J^{q,r}(Y)=I_{y_q+y_r}(Y).$$

字母 J 承自列文；Fiore 与 Satyendra 把这类操作系统化为广义语境群，上标形式见 Fiore、Noll 与 Satyendra 的研究。75 在 (0,4,7) 的 T/I 轨道上取原位大三和弦、开放第二转位小三和弦时，恰有 P=J1,3、L=J2,3、R=J1,2。离开这一轨道以后，三种语境倒影未必生成完整的语境群，也未必与网格上预先选定的三条边具有同样的和声解释；例如全偶的 stride 三音段 (0,4,10) 上，⟨P,L,R⟩ 并非单纯可递。

分析与表现

新黎曼分析首先说明和弦如何相连，随后才讨论这种连接在作品中的听觉和表现意义。同一种 PL 或 LP 关系，在不同调性位置、配器和叙事语境中可以产生不同效果。分析的结论来自对具体片段中变换路径的追踪，而不是给和弦贴上的风格标签。

参考文献

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  5. FIORE T M, NOLL T, SATYENDRA R. Morphisms of generalized interval systems and PR-groups[J]. Journal of Mathematics and Music, 2013, 7(1): 3-27.
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