音网（Tonnetz）

音网（德语：Tonnetz，意为“音的网络”）用网格表示音高之间的音程关系。不同传统赋予它不同的音律和分析含义；当代音乐理论主要借它观察共同音、和弦邻接和声部进行。

基本结构

经典音网把音高排列在三角网格的顶点上。网格的三种边分别连接相距纯五度、大三度和小三度的音；其中两种音程可作为生成方向，第三种由二者之差得到。在十二平均律的音类空间中，同一音类会周期性重复。通常看到的无限平面是有限音类复形的一种展开表示，便于连续追踪和弦路径。

每个三角形表示一个大三和弦或小三和弦。两个三角形若共享一条边，便共享该边上的两个音类；一个三角形有三条边，因此按共边邻接有三个直接相邻的三角形。这里的几何距离首先描述共同音和音程结构，不应脱离具体语境直接等同于听觉亲疏。

历史

音网的早期形式见于欧拉 1739 年的《音乐新理论尝试》（Tentamen novae theoriae musicae）。欧拉以纯五度和纯大三度组织音高，原图服务于纯律问题.19 世纪的奥廷根（Arthur von Oettingen）和胡戈·里曼进一步把这类网络用于和声关系研究.20 世纪后期以来，音网进入新黎曼理论、数学音乐理论和计算机辅助分析，所表示的对象也由传统三和弦扩展到更一般的和弦类。

新黎曼变换

在大、小三和弦构成的经典音网上，P（平行变换）、L（导音交换）和 R（关系变换）分别跨越三种共边。每次变换保持两个共同音，仅改变第三音；连续操作则形成经过若干三和弦的路径。这里的 P、L、R 具有专门的和声含义，不能仅凭“共享一条边”便无条件推广到所有三音集合类；推广以后的用法见新黎曼理论。

广义音网与 T/I 复形

Bigo 等把同一移调—倒影类中的和弦组织为单纯复形：音类是顶点，和弦是单形，共同音决定单形之间的交叠。对三音集合，把三个音类按圆周次序排列并记录相邻音差，可得音程结构 [a,b,c]，其中 a+b+c=12。例如大三和弦 {0,4,7} 沿圆周的相邻音差依次为 4、3、5，总和为 12，故归入 [3,4,5] 构型。相应的 T/I 复形记为

$$K_{TI}[a,b,c].$$

经典大、小三和弦音网的有限复形是 KTI[3,4,5]；展开后得到熟悉的三角网格。其他三音集合类可能形成环面、带边界的曲面或退化结构，不能预设每条边都对应一个不同和弦。基数更高的和弦可由更高维的单形表示。

[4,4,4] 构型并非“没有音网”。增三和弦在 T4 下保持不变，因而它的 T/I 轨道只有四个不同集合。有限复形表现为四个互不相连的三角形；将其中一个分支展开到平面时，同一增三和弦会周期性重复，跨越网格边界也可能仍是原集合。

广义边变换

在 KTI[3,4,5] 中，沿三种共边移动分别对应经典 P、L、R。对其他三音构型，也可以沿三种边方向定义保持两个音类、改变第三音的变换；但“平行”“导音交换”和“关系大小调”的原义通常不再适用。若仍沿用 P/L/R，须把它们理解为广义边变换的操作标签，而不是把经典和声定义原封不动地推广到所有三音类。

语境倒影提供了另一种代数描述。对有序音段 Y，Jq,r 以第 q、r 个音之和为倒影轴；在经典大、小三和弦轨道上，适当排序后可与 P、L、R 对应。离开这一轨道以后，三种语境倒影未必生成完整的语境群，也未必与网格上预先选定的三条边具有同样的和声解释。

紧密度

Bigo 所称的紧密度（compactness）是组合密度指标，不是拓扑学中的紧致性。设音类集合 A 在支持复形 K 中诱导的子复形为 S(A)∩K，其 d 维紧密度为

$$C_d(K,A)=\frac{f_{d+1}(S(A)\cap K)}{f_{d+1}(S(A))}.$$

C1 计算集合中的二音子集有多少成为该复形的边；C2 计算其中的三音子集有多少成为该复形的三角形。数值越高，表示这组和弦材料越容易由当前复形的音程结构容纳。作品轨迹的紧密度可按各和弦的持续时间加权平均。

紧密度描述静态材料的适配程度，不计算和弦次序、轨迹形状或声部移动距离。不同复形含有的边和三角形数量不同，跨构型比较时还须参照该复形对全部同基数集合的平均值。

声部进行空间

广义音网与声部进行空间并非同一模型.T/I 复形以无序音类集合为对象，强调音程结构、共同音和单形邻接；声部进行空间还要处理具体音高、八度位置、声部配对和移动距离。一个音网中的邻接可以提示简约声部进行，却不能单凭音类集合确定每个声部实际如何移动.HexaChord 因而把三音和弦的声部进行空间作为独立视图，而不是某一 KTI[a,b,c] 构型的附属坐标。

参考文献

  1. EULER L. Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae[M]. Petropoli: Typographia Academiae Scientiarum, 1739.
  2. HYER B. Tonality[M]//CHRISTENSEN T, ed. The Cambridge History of Western Music Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2002: 726-752.
  3. COHN R. Neo-Riemannian operations, parsimonious trichords, and their “Tonnetz” representations[J]. Journal of Music Theory, 1997, 41(1): 1-66.
  4. BIGO L, GHISI D, SPICHER A, 等. Representation of musical structures and processes in simplicial chord spaces[J]. Computer Music Journal, 2015, 39(3): 9-24.
  5. BIGO L, GIAVITTO J L, ANDREATTA M, 等. Computation and visualization of musical structures in chord-based simplicial complexes[C]//Mathematics and Computation in Music. Berlin: Springer, 2013: 38-51.
  6. FIORE T M, NOLL T, SATYENDRA R. Morphisms of generalized interval systems and PR-groups[J]. Journal of Mathematics and Music, 2013, 7(1): 3-27.

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