变换理论

变换理论（transformational theory）研究音乐对象之间可被命名和组合的关系。传统分析常从对象的属性出发，变换分析则追问由一个对象到达另一个对象需要施行什么操作。大卫·列文在《广义音乐音程与变换》（Generalized Musical Intervals and Transformations，1987）中建立了这一理论的主要形式体系。

理论源流

列文早期研究音程函数、音类集合和十二音音乐，并逐渐把分析重心由静态分类转向音乐对象之间的有向关系。在他的表述中，音程不仅是两个对象之间测得的距离，也可以理解为听者从一个位置前往另一个位置所施行的动作。由此形成的变换观点保留了次序和方向：从 s 到 t 的操作未必等同于从 t 返回 s 的操作。

《音乐形式与变换》（Musical Form and Transformation，1993）把这一方法用于具体作品。书中的分析并不把数学结构当作作品的替代物，而是利用变换网络组织听觉关系、动机重现及和声路径。

广义音程系统

广义音程系统（generalized interval system，GIS）写作三元组 (S, IVLS, int)。S 是音乐对象的集合，IVLS 是音程群，int(s,t) 给出从对象 s 到对象 t 的广义音程。它满足复合规律

$$\operatorname{int}(s,t)\operatorname{int}(t,u)=\operatorname{int}(s,u)$$

对于任意对象 s 和任意音程 i，系统中存在唯一对象 t，使 int(s,t)=i。这项条件保证每个音程都能从任何对象出发确定地施行。

音类空间提供了最简单的例子。令 S=ℤ12，则 int(p,q)=q−p (mod 12)。不过，GIS 的对象不必是音高或音类，也可以是和弦、音列、节奏型、调式、音色状态或分析者明确定义的其他音乐实体。

变换及群作用

变换是从音乐空间到自身的函数。音类移位和倒影通常写作

$$T_n(p)=p+n\pmod{12},\qquad I_n(p)=-p+n\pmod{12}$$

十二个移位和十二个倒影组成含 24 个元素的 T/I 群，与正十二边形的二面体群同构。二面体群的记号并不统一，有些文献写 D12，有些写 D24；因此说明元素数量比单独写群名更清楚。

群作用规定每个算子如何作用于整个音乐空间。若一个作用是单传递的，那么任意两个对象之间恰有一个群元素相连。这个条件便于给关系命名，却不会自动产生有意义的音乐分析。算子的作用范围、复合规律及其在作品中的反复出现仍需由分析者说明。

变换网络

变换网络以节点表示音乐对象，以有向边表示操作。沿路径依次施行边上的算子，所得复合变换连接路径的起点和终点。网络可以记录实际出现的和弦接续，也可以展示若干材料之间尚未按时间展开的潜在关系。

同一个网络能够在不同音乐空间中实现。分析者因而必须说明节点代表什么，边上的操作怎样作用，以及这些关系为何与当前作品有关。网络的价值在于压缩反复出现的关系并显示复合结构，不在于增加符号数量。

后续发展

克伦彭豪尔网络把 T/I 操作用于音类集合内部关系。新黎曼理论把 P、L、R 等算子用于大、小三和弦，由共同音保持和简约声部进行建立和弦之间的路径。语境群、列文对偶、均匀三和弦变换以及跨类型变换网络进一步扩大了可处理的对象和操作。

变换理论与音类集合理论共享模算术、群和群作用等数学工具，但分析重点不同。集合理论主要讨论对象在移位、倒影等关系下如何分类；变换理论保留关系的方向、次序和复合。声部进行空间又把某些离散操作放入连续几何空间，使变换路径可以与移动距离一并讨论。

分析边界

形式上可定义的变换远多于作品中具有解释力的变换。仅为每一对对象指定一个符号，只能重述“对象发生了变化”。有效的分析还需说明同一算子是否在整个选定空间中具有确定作用，是否概括了作品中反复出现的关系，以及节奏、音区、配器和调性语境是否支持这种解释。

参考文献

  1. LEWIN D. Generalized Musical Intervals and Transformations[M]. New Haven: Yale University Press, 1987.
  2. LEWIN D. Musical Form and Transformation: 4 Analytic Essays[M]. New Haven: Yale University Press, 1993.
  3. HOOK J. Uniform triadic transformations[J]. Journal of Music Theory, 2002, 46(1/2): 57-126.
  4. FIORE T M, NOLL T. Voicing transformations of triads[J]. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry, 2018, 2(2): 281-313.

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