音乐声部进行空间

音乐声部进行空间（voice-leading space）把和弦表示为几何空间中的点，把声部进行表示为点之间的路径。路径长度量化声部移动的大小，空间的形状则记录八度等价、声部置换等音乐等价关系。德米特里·蒂姆兹科及其合作者在二十一世纪初建立了这一理论的系统形式。

坐标及距离

含 n 个声部的具体和弦可写成有序音高组 (x₁,…,x_n)，因而对应 ℝⁿ 中的一点。两个和弦之间的声部进行由位移向量

\mathbf v=(y_1-x_1,\ldots,y_n-x_n)

表示。若采用欧几里得度量，其长度为

\lVert\mathbf v\rVert_2=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(y_j-x_j)^2}

还可以采用绝对位移之和或最大单声部位移等度量。不同度量回答的问题并不完全相同，因此“最近的和弦”取决于声部配对及距离定义。

原始坐标保留了每个声部的身份和音区。理论模型可按分析目的识别若干等价关系。八度等价把相差整数个八度的音高视为同一音类；置换等价忽略声部次序；整体移位等价把相同和弦类型的不同移位合并；有些模型还允许声部增减。

对这些关系取商后，原来的欧几里得空间会折叠并粘合成 orbifold。该词在数学上指带有有限群对称奇点的商空间，中文可译为“轨形”。重复音、对称和弦及边界粘合处会形成特殊点。声部交叉并非简单地被禁止；在忽略声部身份的模型中，交叉前后的坐标可能因置换等价而表示同一点或同一路径。

两个和弦在取商空间中的距离，是所有八度配置和声部配对中最短路径的长度。C 大三和弦 {C,E,G} 到 C 小三和弦 {C,E♭,G} 只需把 E 下移半音，因此两点相邻。相同音类内容的两个具体配器也可能相距很远；一旦采用八度和置换等价，它们又可能投影到同一个和弦点。

几何邻近只说明存在移动较小的声部进行。实际作品采用哪一种配置，仍取决于音区、声部身份、可演奏性及上下文。最短路径也不必然等同于最自然或最有功能意义的进行。

固定声部数目的空间具有与维数相关的几何结构。二音和弦可在二维空间中表示，三音和弦位于三维空间；取商以后，对称和弦常处于空间的特殊位置。全音程均分的和弦具有较高对称性，附近可出现以最小位移连接的熟悉和弦类型。蒂姆兹科据此讨论大、小三和弦、增三和弦、减七和弦及常见音阶之间的几何关系。

音网把特定和弦及变换组织成离散网格，声部进行空间则保留连续路径和距离。两者可以描写相同材料，却不是同一个模型。音网上相邻的和弦常有简约声部进行，但网格邻接本身不能确定具体声部怎样移动。

固定维数的空间难以直接比较三和弦与七和弦。克利夫顿·卡伦德、伊安·奎因和德米特里·蒂姆兹科提出广义声部进行空间，把重复音、声部合并和声部拆分纳入统一框架。不同基数的和弦由此可以在同一类几何结构中连接。《科学》（Science）于 2008 年刊载这一研究。

广义模型适合讨论和弦增减音、音簇聚合及不同规模集合之间的平滑连接。它也带来新的选择：重复音应占多大权重，合并声部的代价如何计算，具体声部身份是否需要保留。分析者必须说明采用的等价关系和度量。

声部进行空间可以比较和弦连接的经济程度，寻找一组和弦之间的最短路径，并把乐段画成空间轨迹。它还可用于研究和弦类型附近的局部结构、和声循环及音阶之间的移动。几何模型只编码被选入模型的参数；节奏、音色、重音、调性功能及听觉分组仍需另行分析。

TYMOCZKO D. The geometry of musical chords[J]. Science, 2006, 313(5783): 72-74.
CALLENDER C, QUINN I, TYMOCZKO D. Generalized voice-leading spaces[J]. Science, 2008, 320(5874): 346-348.
TYMOCZKO D. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice[M]. New York: Oxford University Press, 2011.
CALLENDER C. Continuous transformations[J/OL]. Music Theory Online, 2004, 10(3).