音程向量

音程向量是统计一个音类集合内部六种音程类各出现次数的六位数组，用以概括其音程构成。它在移位与倒影下保持不变，是同一集合类的共同特征。

定义

音程向量写作 ⟨a1 a2 a3 a4 a5 a6⟩，第 i 位记录音程类 i 在集合的无序音对中出现的次数。音程类把相差 i 与 12−i 个半音的两种距离归为一类，因此 i 只取 1 到 6，其中 6 为三全音，它自身即为其补。

例如大三和弦 {0,4,7} 的三个音对给出距离 4、7、3，归入音程类后为 4、5、3，故向量为 ⟨001110⟩：三度、四度、五度各出现一次。

例子

半音三音集合 {0,1,2} 的音对为 (0,1)、(1,2)、(0,2)，音程类为 1、1、2，向量 ⟨210000⟩。全音集合 {0,2,4,6,8,10} 含十五个音对，音程类 2 出现 6 次、音程类 4 出现 6 次、三全音出现 3 次，向量 ⟨060603⟩。半音阶全集 {0,1,…,11} 的向量为 ⟨12 12 12 12 12 6⟩，因为音程类 1 至 5 各有 12 个音对，而三全音只有 6 个。

性质

音程向量在 Tn 与 TnI 下不变，因此同一集合类的全部成员共享同一向量。各分量之和恒等于 C(n,2)，n 为集合基数；这一恒等式可用作计算结果的自我校验。

补集之间也有确定关系。若基数 n 的集合 A 的向量为 ai，其补集（基数 12−n）的向量 bi 满足

bi = ai + 12 − 2n（i=1,…,5），b6 = a6 + 6 − n。

以大三和弦为例，n=3，向量 ⟨001110⟩，其九音补集的向量为 ⟨667773⟩，各分量之和 36 = C(9,2)。

局限

音程向量是集合类的不变量，却不是完备不变量：两个不属于同一集合类的集合可能具有相同向量，即所谓Z 关系。因此向量足以否定同类关系，不足以确认它。

向量也不记录音程的分布方式：它不区分某音程出现在集合的什么位置，不反映音区、排列、重复音与声部配置，也不说明这些音程在作品中如何依次出现。两个向量相近的集合听起来未必相近，向量差异大的集合也可能通过特定的声部安排而连接得很顺。

相关

参考文献

  1. FORTE A. The Structure of Atonal Music[M]. New Haven: Yale University Press, 1973.
  2. RAHN J. Basic Atonal Theory[M]. New York: Longman, 1980.
  3. STRAUS J N. Introduction to Post-Tonal Theory[M]. 4th ed. New York: W. W. Norton, 2016.