Z 关系

Z 关系指两个互不等价（不属于同一集合类）的音类集合却具有相同音程向量的现象。它表明音程向量是集合类的不变量，却不是完备不变量。

命名

福特在集合表中为这类集合加注字母 Z，写作 4-Z15、4-Z29 等，用以提示该序号与另一序号共享音程向量。编号相邻并不表示 Z 关系：福特序号只是登记次序，是否构成 Z 对须查表或比对向量。

出现范围

二音与三音集合中没有 Z 关系：十二个三音集合类的音程向量两两不同。Z 关系最早出现在四音集合，且四音层级只有一对：

4-Z15 [0,1,4,6] 与 4-Z29 [0,1,3,7]，二者的音程向量同为 ⟨111111⟩。

五音层级也有成对的例子，如 5-Z12 [0,1,3,5,6] 与 5-Z36 [0,1,2,4,7]，向量同为 ⟨222121⟩。六音层级的 Z 对数量最多。

为何六音集合最多

这与补集有关。由音程向量的补集公式，基数 n 的集合与其补集满足 bi = ai + 12 − 2n（i=1,…,5）。当 n=6 时，附加项为零，即任意六音集合与其补集的音程向量完全相同。因此一个六音集合只有两种可能：它的补集与自己同属一个集合类，或者二者构成一对 Z 关系。这正是六音层级 Z 对远多于其他层级的原因。

意义

Z 关系说明音程含量不足以唯一确定集合类：仅凭向量无法区分一对 Z 关系集合，必须回到基本型或集合类本身。分析中若用向量判断亲缘，须留意这一例外。

反过来，共享音程含量使 Z 关系集合在听觉上具有可比较的音程密度，却无法通过移位或倒影互相转换，这种“相似而不可及”的性质常被作曲家用于制造材料对比。不过，是否真的被有意识地运用，仍需以作品或作曲家的实际陈述为据，不能仅由向量相同反推。

相关

参考文献

  1. FORTE A. The Structure of Atonal Music[M]. New Haven: Yale University Press, 1973.
  2. RAHN J. Basic Atonal Theory[M]. New York: Longman, 1980.
  3. STRAUS J N. Introduction to Post-Tonal Theory[M]. 4th ed. New York: W. W. Norton, 2016.