集合类

集合类（set class）是在移位与倒影等价下归并而成的音类集合族；同一集合类的成员彼此可通过 Tn 或 TnI 相互转换。它是音类集合理论进行分类的基本单位。

定义

若只允许移位，两个可通过 Tn 互转的集合属于同一移位集合类（transposition class）。再把倒影 TnI 纳入等价关系，便得到通常所说的集合类。用群论的语言说，集合类是集合在 24 阶 T/I 群作用下的轨道。

这两个层次并不重合。十二个大三和弦构成一个移位集合类，十二个小三和弦构成另一个；把倒影纳入以后两者合并为同一个集合类，福特序号 3-11。文献若只说“集合类”而未加限定，通常指 T/I 意义下的集合类。

成员数目

无对称性的集合在 T/I 下有 24 个不同形式。若集合具有对称性，形式数目按对称群的阶 k 缩减为 24/k。全音集合 {0,2,4,6,8,10} 在 T2 下不变，也在倒影下不变，其对称群阶为 12，故只有 2 个不同形式：两个互为补集的全音阶。增三和弦 {0,4,8} 在 T4 下不变，有 4 个不同形式。

同理，移位集合类的成员数为 12 除以该集合的移位对称数。这一计数也解释了为何对称集合在作品中出现的“不同位置”远少于一般集合。

枚举

全部集合类共 224 个（含空集与十二音全集）。按基数分布为：二音 6 个，三音 12 个，四音 29 个，五音 38 个，六音 50 个，七音 38 个，八音 29 个，九音 12 个，十音 6 个，十一音与十二音各 1 个。分布关于基数 6 对称，因为取补集给出基数 n 与 12−n 的集合类之间的一一对应：大三和弦的补集是九音集合，3-11 与 9-11 配对。

性质与例子

同一集合类的成员共享基数与音程向量；反方向不成立，因为存在Z 关系，即不同集合类具有相同向量的情形。因此音程向量可以排除同类关系，却不足以确认它。集合类由基本型作规范代表，由福特序号标识。

常见例子：大三和弦 {0,4,7} 与小三和弦 {0,3,7} 同属 3-11，基本型 [0,3,7]；半音三音集合 {0,1,2} 属 3-1；全音音阶的六个音类构成 6-35；八声音阶（减音阶）{0,1,3,4,6,7,9,10} 属 8-28。

相关

参考文献

  1. FORTE A. The Structure of Atonal Music[M]. New Haven: Yale University Press, 1973.
  2. RAHN J. Basic Atonal Theory[M]. New York: Longman, 1980.
  3. HOOK J. Set-class enumeration: a brief history[J/OL]. Music Theory Online, 2007, 13(4).